Desvio padrão amostral

Em probabilidade e Estatística, o desvio padrão é a medida mais comum da dispersão estatística. O desvio padrão define-se como a raiz quadrada da variância. É definido desta forma de maneira a dar-nos uma medida da dispersão que:

1. seja um número não-negativo;
2. use a mesma unidade de medida dos dados fornecidos inicialmente.

Faz-se uma distinção entre o desvio padrão σ (sigma) do total de uma população ou de uma variável aleatória, e o desvio padrão de um subconjunto em amostra.

O termo desvio padrão foi introduzido na estatística por Karl Pearson no seu livro de 1894: "Sobre a dissecção de curvas de frequência assimétricas".

Variância

A variância é a soma dos quadrados dividida pelo número de observações do conjunto menos uma. A variância é representada por s2, sendo calculada pela fórmula:

∑ (xi – Média)² / (n – 1)
Ou seja,
s² = SQ / (n-1)

Desvio padrão amostral

Se uma variável aleatória toma os valores então o desvio padrão para esta amostra de números (ou desvio padrão amostral) pode ser calculado da seguinte forma. Primeiro calcula-se a média de através de:

Depois, o desvio padrão amostral é calculado como:

A divisão por aparece quando exigimos que a variância amostral seja um estimador não tendencioso da variância populacional

Quando os dados estão agrupados(frequência) temos:

onde é o número de observações diferentes.

Em outras palavras, o desvio padrão amostral de uma variável aleatória X pode ser calculada como:

1. Para cada valor calcula-se a diferença entre e o valor médio
2. Calcula-se o quadrado dessa diferença. No caso dos dados estarem tabelados (com frequências), multiplica-se cada um destes quadrados pela respectiva frequência.
3. Encontra-se a soma dos quadrados das diferenças. No caso dos dados estarem tabelados (com frequências), a soma é a dos produtos dos quadrados das diferenças pela respectiva frequência.
4. Divide-se este resultado por: (número de valores - 1), ou seja, Esta quantidade é a variância
5. Tome a raiz quadrática deste resultado.

O desvio padrão também pode ser calculado quando não se sabe a média dos dados. O cálculo é feito conforme a fórmula:

Ou seja:



Em que:
s = desvio padrão da amostra;
 = média dos valores obtidos nas unidades testadas;
n = número de unidades testadas;
x1; x2; x3 ..............xn = valores individuais xi das unidades testadas;
n –1 = número de cápsulas testadas menos um. Exemplo: 20 cápsulas testadas: n -1 = 19.

De acordo com a literatura técnica farmacêutica e farmácia galênica, recomenda-se adotar como tolerância para o desvio padrão o valor de 5%.

Exemplo:

Como calcular o desvio padrão de 3,5,2,1,3,4,6,9,3?

• O primeiro passo para o cálculo do desvio padrão é calcular a média () dos valores.

Assim:
 = ∑ xi/n
= 3+5+2+1+3+4+6+9+3 / 9
 = 36/9
 = 4

• O segundo passo é calcular (xi - )², onde xi é cada um dos valores. Assim teremos:

(3-4)² = (-1)² = 1
(5-4)² = (1)² = 1
(2-4)² = (-2)² = 4
(1-4)² = (-3)² = 9
(3-4)² = (-1)² = 1
(4-4)² = (0)² = 0
(6-4)² = (2)² = 4
(9-4)² = (5)² = 25
(3-4)² = (-1)² = 1

• O terceiro passo é calcular a variância (s²):

s² = ∑ (xi – )² / (n – 1)

s² = 1+1+4+9+1+0+4+25+1
s² = 46/(n-1)
s² = 46/(9-1)
s² = 46/8
s² = 5,75
Esse valor é chamado de variância.

• Finalmente, o desvio padrão (s) é a raiz quadrada da variância, isto é,

s= √s²
s = √5,75 = ~ 2,3979

FONTE

http://www.racine.com.br/portal-racine/farmacias-e-drogarias/manipulacao-magistral/a-importancia-da-analise-do-peso-medio-desvio-padrao-e-coeficiente-de-variacao-na-manipulacao-de-medicamentos-para-a-farmacia-com-manipulacao

http://www.infoescola.com/estatistica/variancia-e-desvio-padrao

http://pt.wikipedia.org/wiki/Desvio_padr%C3%A3o