Desvio padrão amostral

Em probabilidade e Estatística, o desvio padrão é a medida mais comum da dispersão estatística. O desvio padrão define-se como a raiz quadrada da variância. É definido desta forma de maneira a dar-nos uma medida da dispersão que:
  1. seja um número não-negativo;
  2. use a mesma unidade de medida dos dados fornecidos inicialmente.
Faz-se uma distinção entre o desvio padrão σ (sigma) do total de uma população ou de uma variável aleatória, e o desvio padrão de um subconjunto em amostra.
O termo desvio padrão foi introduzido na estatística por Karl Pearson no seu livro de 1894: "Sobre a dissecção de curvas de frequência assimétricas".

Variância

A variância é a soma dos quadrados dividida pelo número de observações do conjunto menos uma. A variância é representada por s2, sendo calculada pela fórmula:
∑ (xi – Média)2 / (n – 1)
Ou seja,
s2 = SQ / (n-1)

Desvio padrão amostral

Se uma variável aleatória \operatorname{X} toma os valores  \operatorname{x}_1,\dots,\operatorname{x}_n , então o desvio padrão para esta amostra de n números (ou desvio padrão amostral) pode ser calculado da seguinte forma. Primeiro calcula-se a média de  \operatorname{X}, \overline{x}, através de:
\overline{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}
Depois, o desvio padrão amostral é calculado como:
s = \sqrt{\dfrac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2}
A divisão por n-1 aparece quando exigimos que a variância amostral \operatorname{s}^2 seja um estimador não tendencioso da variância populacional \operatorname{\sigma}^2.
Quando os dados estão agrupados(frequência) temos:
s = \sqrt{\dfrac{1}{(\sum_{i=1}^k {f_i})-1} \sum_{i=1}^k ((x_i - \overline{x})^2 \times f_i)}
onde k é o número de observações diferentes.
Em outras palavras, o desvio padrão amostral de uma variável aleatória X pode ser calculada como:
  1. Para cada valor  x_i calcula-se a diferença x_i - \overline{x} entre  x_i e o valor médio \overline{x}.
  2. Calcula-se o quadrado dessa diferença. No caso dos dados estarem tabelados (com frequências), multiplica-se cada um destes quadrados pela respectiva frequência.
  3. Encontra-se a soma dos quadrados das diferenças. No caso dos dados estarem tabelados (com frequências), a soma é a dos produtos dos quadrados das diferenças pela respectiva frequência.
  4. Divide-se este resultado por: (número de valores - 1), ou seja,  (n-1). Esta quantidade é a variância  s^2 .
  5. Tome a raiz quadrática deste resultado.
O desvio padrão também pode ser calculado quando não se sabe a média dos dados. O cálculo é feito conforme a fórmula:

s = \sqrt{\frac{\sum x_i^{2} - \frac{1}{n} (\sum x_i)^{2}}{n-1}}



Ou seja:
desvio-padrao-formula-magistral


Em que:
s = desvio padrão da amostra;
\overline{x}. = média dos valores obtidos nas unidades testadas;
n = número de unidades testadas;
x1; x2; x3 ..............xn = valores individuais xi das unidades testadas;
n –1 = número de cápsulas testadas menos um. Exemplo: 20 cápsulas testadas: n -1 = 19.

De acordo com a literatura técnica farmacêutica e farmácia galênica, recomenda-se adotar como tolerância para o desvio padrão o valor de 5%.

Exemplo:

Como calcular o desvio padrão de 3,5,2,1,3,4,6,9,3?
  • O primeiro passo para o cálculo do desvio padrão é calcular a média () dos valores.


Assim:
\overline{x}. = ∑ xi/n
\overline{x}.= 3+5+2+1+3+4+6+9+3 / 9
\overline{x}. = 36/9
\overline{x}. = 4


  • O segundo passo é calcular (xi - \overline{x}., onde xi é cada um dos valores. Assim teremos:

(3-4)² = (-1)² = 1
(5-4)² = (1)² = 1
(2-4)² = (-2)² = 4
(1-4)² = (-3)² = 9
(3-4)² = (-1)² = 1
(4-4)² = (0)² = 0
(6-4)² = (2)² = 4
(9-4)² = (5)² = 25
(3-4)² = (-1)² = 1


  • O terceiro passo é calcular a variância (s²):

s² = ∑ (xi – \overline{x}.)2 / (n – 1)
s² = 1+1+4+9+1+0+4+25+1
s² = 46/(n-1)
s² = 46/(9-1)
s² = 46/8
= 5,75
Esse valor é chamado de variância.


  • Finalmente, o desvio padrão (s) é a raiz quadrada da variância, isto é,

s= √s²
s = √5,75 = ~ 2,3979

FONTE


  • http://www.racine.com.br/portal-racine/farmacias-e-drogarias/manipulacao-magistral/a-importancia-da-analise-do-peso-medio-desvio-padrao-e-coeficiente-de-variacao-na-manipulacao-de-medicamentos-para-a-farmacia-com-manipulacao
  • http://www.infoescola.com/estatistica/variancia-e-desvio-padrao
  • http://pt.wikipedia.org/wiki/Desvio_padr%C3%A3o

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